Determinante de una matriz

Muy buenas a todos y todas una vez más a este blog! El tema que voy a tratar hoy es bastante importante ya que se trata de el cálculo del determinante de una matriz. Espero que os sea de ayuda, comenzamos!

¿Qué es un determinante? 

Dada una matriz cuadrada de orden n,

se llama determinante de la matriz A y se representa como |A|: 

a un número real que es igual a: 

El determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene cuando todos los n factorial (n!) productos posibles de n elementos de la matriz, de forma que en cada producto haya un elemento de cada fila y uno de cada columna, precedido cada producto con el signo + o - según que la permutación de los subíndices que indican la columna tenga un número de inversiones, respecto del orden natural, que sea par o impar. 

(Esta definición es práctica para resolver los determinantes de orden 2 y 3 ya que los de orden superior se resuelven con otros métodos, así resulta menos laborioso)

Determinantes de orden 2. 

Dada una matriz de orden 2,

se llama determinante de la matriz A, 

al número:

Es decir, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 

Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo determinante de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Determinantes de orden 3. Regla de Sarrus

Dada una matriz cuadrada de orden 3, 

se llama determinante de la matriz A al número: 

Este desarrollo puede recordarse fácilmente con este diagrama, más conocido como la regla de Sarrus: 

Regla de Sarrus. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

 Vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo regla de Sarrus. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Propiedades de los determinantes

  1.- El determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta.

  2.- Si los elementos de una fila o de una columna se multiplican todos por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

  3.- Si los elementos de una línea se pueden descomponer en suma de dos o más sumandos, el determinante será igual a la suma de dos determinantes (o más) que tienen todas las restantes líneas iguales y en dicha línea tienen los primeros, segundos, terceros, etc. sumandos. Veamos un ejemplo de esta propiedad: 

Ejemplo propiedad de determinantes. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

  4.- Si en un determinante los elementos de una línea son nulos, el determinante es nulo. 

  5.- Si en una matriz se permutan dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

  6.- Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo.

  7.- Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es nulo. 

  8.- Si los elementos de una línea son combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante es nulo. Veamos un ejemplo:

Ejemplo propiedad de determinantes. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

  9.- Si a los elementos de una línea se le suma una combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante no varía. 

  10.- El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices: |A·B|=|A|·|B|

Bueno, aquí lo dejamos por hoy. Espero que sea de utilidad toda la información proporcionada. Nos seguimos leyendo en el siguiente post!

Amalia.

Apuntes marea verde. BC2 02. Determinantes. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 9/12/2018.

Matriz traspuesta

Welcome back! 

Ya sé que estáis llenos/as de dudas sobre las matrices, por ello hoy os hablaré de la matriz traspuesta.

Se llama matriz traspuesta a aquella matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. La llamaremos  A^t .

Vamos a ver un ejemplo: 

 Una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta: A= A^t .

Para que una matriz sea simétrica, los elementos simétricos respecto a la diagonal principal deben ser iguales. 

También se da el caso de matrices antisimétricas, A= -A^t . Este es el caso en el que una matriz cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta.

Las matices traspuestas cumplen las siguientes propiedades: 

- La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las matrices traspuesta:

- La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto en orden inverso de las matrices traspuestas: 

Vamos a ver un ejemplo: 

Enunciado ejemplo matriz traspuesta. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Ejemplo matriz traspuesta. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Aquí acaba esta explicación, espero que haya sido de ayuda. Cualquier duda, hacédmelo saber.

Nos leemos!!

Amalia.

Apuntes marea verde. BC2 01. Matrices. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 7/12/2018.

Matriz inversa

Hola a todos/as! 

Espero que después de los primeros posts estéis cogiendo el truco a las matrices, no son tan complicadas, solo hay que seguir practicando! 

Hoy voy a explicar lo que es una matriz inversa y veremos algunos ejemplos para que todo quede claro. Allá vamos!

¿Qué es una matriz inversa?

En las propiedades que hemos mencionado en anteriores posts no se ha hecho referencia a la existencia del elemento simétrico o inverso ya que no existe esa propiedad. Aun así, hay matrices cuadradas para las cuales existe otra matriz que al multiplicarlas obtenemos la matriz unidad, o sea, un elemento neutro. 

La definición teórica de la matriz inversa es: 

Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por A^-1  

A·A^-1 = A^-1 ·A= I

Si una matriz cuadrada no tiene matriz inversa, se dice que la matriz es singular. 

La matriz inversa tiene las siguientes propiedades: 

- La inversa de la matriz inversa es la matriz original.

- La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambiando su orden. 

- La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la matriz inversa. (En el siguiente post se explicará la matriz traspuesta)

Para hallar una matriz inversa dispondremos de varios métodos distintos. Explicaré dos de ellos.

- Mediante sistema de ecuaciones

- Mediante el método de Gauss - Jordan

- Mediante determinantes, este método lo veremos en un post más adelante. 

Sistema de ecuaciones: 

Ejemplo matriz inversa mediante sistemas de ecuaciones. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Este método resulta algo laborioso simplemente con matrices de orden 2 y con dos términos nulos (0), por lo que se complica considerablemente cuanto mayor sea la dimensión de la matriz y según los términos no nulos que tenga. 
También debemos tener en cuenta que no siempre existe una matriz inversa por lo que todo este trabajo habría sido en vano. 

El siguiente método es un poco más sencillo, vamos a verlo.

Método de Gauss - Jordan:

El método de Gauss - Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales. 

Llamamos transformaciones elementales por filas a: 

- Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como:

- Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número distinto a 0 llamémoslo "a". Lo escribimos como: 

- Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j multiplicada por un número b. Lo escribimos como: 

Ampliamos la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad, y aplicamos las transformaciones elementales de modo que la matriz inicial se transforme en la matriz identidad. 

Veamos esto con un ejemplo para que quede claro: 

Ejemplo matriz inversa mediante método de Gauss-Jordan. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Comparando este método con el anterior, observamos que es mucho más rápido y sencillo. 


Hasta aquí este post sobre el cálculo de las matrices inversas. Espero que os haya sido de ayuda!

Nos seguimos leyendo!!


Amalia.

Apuntes marea verde. BC2 01. Matrices. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 6/12/2018.