Determinante de una matriz

Muy buenas a todos y todas una vez más a este blog! El tema que voy a tratar hoy es bastante importante ya que se trata de el cálculo del determinante de una matriz. Espero que os sea de ayuda, comenzamos!

¿Qué es un determinante? 

Dada una matriz cuadrada de orden n,

se llama determinante de la matriz A y se representa como |A|: 

a un número real que es igual a: 

El determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene cuando todos los n factorial (n!) productos posibles de n elementos de la matriz, de forma que en cada producto haya un elemento de cada fila y uno de cada columna, precedido cada producto con el signo + o - según que la permutación de los subíndices que indican la columna tenga un número de inversiones, respecto del orden natural, que sea par o impar. 

(Esta definición es práctica para resolver los determinantes de orden 2 y 3 ya que los de orden superior se resuelven con otros métodos, así resulta menos laborioso)

Determinantes de orden 2. 

Dada una matriz de orden 2,

se llama determinante de la matriz A, 

al número:

Es decir, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 

Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo determinante de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Determinantes de orden 3. Regla de Sarrus

Dada una matriz cuadrada de orden 3, 

se llama determinante de la matriz A al número: 

Este desarrollo puede recordarse fácilmente con este diagrama, más conocido como la regla de Sarrus: 

Regla de Sarrus. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

 Vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo regla de Sarrus. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Propiedades de los determinantes

  1.- El determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta.

  2.- Si los elementos de una fila o de una columna se multiplican todos por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

  3.- Si los elementos de una línea se pueden descomponer en suma de dos o más sumandos, el determinante será igual a la suma de dos determinantes (o más) que tienen todas las restantes líneas iguales y en dicha línea tienen los primeros, segundos, terceros, etc. sumandos. Veamos un ejemplo de esta propiedad: 

Ejemplo propiedad de determinantes. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

  4.- Si en un determinante los elementos de una línea son nulos, el determinante es nulo. 

  5.- Si en una matriz se permutan dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

  6.- Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo.

  7.- Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es nulo. 

  8.- Si los elementos de una línea son combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante es nulo. Veamos un ejemplo:

Ejemplo propiedad de determinantes. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

  9.- Si a los elementos de una línea se le suma una combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante no varía. 

  10.- El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices: |A·B|=|A|·|B|

Bueno, aquí lo dejamos por hoy. Espero que sea de utilidad toda la información proporcionada. Nos seguimos leyendo en el siguiente post!

Amalia.

Apuntes marea verde. BC2 02. Determinantes. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 9/12/2018.