Espero que después de los primeros posts estéis cogiendo el truco a las matrices, no son tan complicadas, solo hay que seguir practicando!
Hoy voy a explicar lo que es una matriz inversa y veremos algunos ejemplos para que todo quede claro. Allá vamos!
¿Qué es una matriz inversa?
En las propiedades que hemos mencionado en anteriores posts no se ha hecho referencia a la existencia del elemento simétrico o inverso ya que no existe esa propiedad. Aun así, hay matrices cuadradas para las cuales existe otra matriz que al multiplicarlas obtenemos la matriz unidad, o sea, un elemento neutro.
La definición teórica de la matriz inversa es:
Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por A-1
En las propiedades que hemos mencionado en anteriores posts no se ha hecho referencia a la existencia del elemento simétrico o inverso ya que no existe esa propiedad. Aun así, hay matrices cuadradas para las cuales existe otra matriz que al multiplicarlas obtenemos la matriz unidad, o sea, un elemento neutro.
La definición teórica de la matriz inversa es:
Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por A-1
A·A-1 = A-1 ·A= I
Si una matriz cuadrada no tiene matriz inversa, se dice que la matriz es singular.
La matriz inversa tiene las siguientes propiedades:
- La inversa de la matriz inversa es la matriz original.
- La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambiando su orden.
- La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la matriz inversa. (En el siguiente post se explicará la matriz traspuesta)
Para hallar una matriz inversa dispondremos de varios métodos distintos. Explicaré dos de ellos.
- Mediante sistema de ecuaciones
- Mediante el método de Gauss - Jordan
- Mediante determinantes, este método lo veremos en un post más adelante.
Sistema de ecuaciones:
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| Ejemplo matriz inversa mediante sistemas de ecuaciones. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA |
Este método resulta algo laborioso simplemente con matrices de orden 2 y con dos términos nulos (0), por lo que se complica considerablemente cuanto mayor sea la dimensión de la matriz y según los términos no nulos que tenga.
También debemos tener en cuenta que no siempre existe una matriz inversa por lo que todo este trabajo habría sido en vano.
El siguiente método es un poco más sencillo, vamos a verlo.
Método de Gauss - Jordan:
El método de Gauss - Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales.
Llamamos transformaciones elementales por filas a:
- Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como:
También debemos tener en cuenta que no siempre existe una matriz inversa por lo que todo este trabajo habría sido en vano.
El siguiente método es un poco más sencillo, vamos a verlo.
Método de Gauss - Jordan:
El método de Gauss - Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales.
Llamamos transformaciones elementales por filas a:
- Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como:
- Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número distinto a 0 llamémoslo "a". Lo escribimos como:
- Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j multiplicada por un número b. Lo escribimos como:
Ampliamos la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad, y aplicamos las transformaciones elementales de modo que la matriz inicial se transforme en la matriz identidad.
Veamos esto con un ejemplo para que quede claro:
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| Ejemplo matriz inversa mediante método de Gauss-Jordan. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA |
Comparando este método con el anterior, observamos que es mucho más rápido y sencillo.
Hasta aquí este post sobre el cálculo de las matrices inversas. Espero que os haya sido de ayuda!
Nos seguimos leyendo!!
Amalia.
Hasta aquí este post sobre el cálculo de las matrices inversas. Espero que os haya sido de ayuda!
Nos seguimos leyendo!!
Amalia.
Apuntes marea verde. BC2 01. Matrices. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 6/12/2018.
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