Aplicaciones de matrices

Bienvenidos/as al último post sobre matrices (por ahora), éste es el que más interesante me parece ya que os hablaré sobre las aplicaciones que tienes las matrices de las que tanto os he hablado con anterioridad. 

Ya hemos visto cómo se trabaja con ellas, pero... ¿Para qué?

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Bueno, deciros que las matrices se utilizan en el ámbito de la informática, y no poco. Si estáis interesados/as en el mundo de la programación ya sea de aplicaciones, videojuegos etc. las matrices van a formar parte de todo eso. Se suelen usan para representar gráficos 3D a 2D que luego se traducen a imagen, es un procedimiento bastante complejo que las matrices nos facilitan. 

Este método matemático también es empleado en las aplicaciones con sensores, por ejemplo, en detección de rostro, ya que nos aportan transformaciones espaciales y vectoriales. En la programación se emplean muchos sistemas de ecuaciones e inecuaciones que con las matrices se resuelven con rapidez. 

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Para aquellas personas interesadas en los videojuegos, decir que se utilizan para crear estructuras de datos que pueden representar, por ejemplo el mapa de terreno de un juego. Hay varios juegos que el uso de las matrices en ellos son muy fáciles de ver pero que probablemente no nos hayamos dado cuenta antes. Juegos como El Buscaminas, El cuatro en raya o El Ajedrez, la zona de juego de todos ellos tiene la estructura de una matriz. Por supuesto, las matrices aparecen en la mayoría de juegos a los que estamos acostumbrados a jugar on-line. 



Sinceramente, yo cuando las estudié en Bachillerato no sabía que algo como las matrices fuesen tan útiles y se tuviesen tantas aplicaciones, porque las mencionadas aquí no son las únicas. Al entrar en la carrera y empezar a entender cómo se creaban los programas fue cuando me di cuenta de todas las utilidades que tienen. 

Este es el final de este capitulo en referencia a matrices. Espero que os haya sido de ayuda. 

Nos seguimos leyendo, como siempre!


Amalia.




Bibliografía:  

• http://espectroconciencia.blogspot.com/2015/05/14-aplicaciones-con-matrices.html
• https://issuu.com/josemanuel_mp/docs/matrices_20aplicadas_20a_20los_20vi
• http://www.ticbeat.com/educacion/las-matematicas-base-para-desarrollar-videojuegos-software-o-dibujos-animados/
• https://tongoxcore.wordpress.com/tag/matematicas-y-videojuegos/

Rango de una matriz

Bienvenidos/as de nuevo a este blog! 

Hoy se va a tratar el tema de matrices explicando qué es el rango de una matriz. Espero que os sea de ayuda. Comenzamos!

Para empezar, vamos a definir lo que llamamos Rango de una matriz. Es el número de filas o columnas linealmente independientes, o sea, que no pueden obtenerse a partir de las demás filas o columnas de la misma matriz. 

Para hallar el rango de una matriz se pueden usar transformaciones elementales para intentar hacer el máximo número posible de ceros, intentando triangular la matriz (Método de Gauss-Jordan que ya vimos anteriormente en el post sobre Matriz inversa), sin embargo será más fácil hallar el rango usando determinantes como ya veremos más adelante. 

Para explicar de una manera más visual cómo obtener el rango de una matriz lo haremos viendo el siguiente ejemplo: 

La tercera fila de A se ha obtenido sumando las dos primeras filas, estas dos primeras filas son independientes, por lo tanto el rango de A es 2. 

La tercera fila de B se obtuvo restando la segunda fila al doble de la primera. Esta operación es un poco más compleja de ver. El rango de B es 2. 

Vamos a ver ahora una actividad para poder tener más ejemplos en los que fijarnos:

Ejemplo rango de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

El rango de esta matriz será 2 como máximo puesto que es una matriz de dimensión 2x2. Vamos realizando transformaciones elementales hasta convertirla en una matriz triangular.

Intercambiamos filas para tener un 1 en la posición a11 

Ejemplo rango de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Ahora tratamos de conseguir ceros, para lo que a la segunda fila le restamos la primera fila multiplicada por (a-2):

Ejemplo rango de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Vemos que si (-a+6=0) la segunda fila es nula, por lo que el rango sería 1. Por tanto: 

Ejemplo rango de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

 Por lo que la solución final sería:

Ejemplo rango de una matriz. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Hasta aquí este post, espero que haya sido de ayuda!

Nos leemos!

Amalia.

Apuntes marea verde. BC2 02. Determinantes. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 13/12/2018.

Matriz adjunta y matriz inversa

Buenos días! Os estaba esperando, una vez más para comenzar el siguiente post, esta vez sobre la Matriz Adjunta y la inversa!

Comencemos por el principio. 

Para poder calcular la matriz inversa, primeramente debemos saber cómo se calcula la matriz adjunta, y esto lo veremos con un ejemplo.

Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz formada por los adjuntos de la matriz A y se representa por Adj(A).

Dada una matriz cuadrada A, de orden n, se llama αij al determinante de orden (n-1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j:

                                       

Esto será utilizado en el cálculo de la matriz adjunta el cual veremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo matriz adjunta. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Matriz inversa

Una vez sabemos calcular determinantes, vamos a ver la tercera forma de poder calcular matrices inversas. En un post anterior sobre matrices inversas ya se ha explicado cómo calcular la inversa de matrices de orden 2 y 3 mediante sistemas de ecuaciones o el método de Gauss - Jordan.

Recordemos que una matriz cuadrada A se llama regular si existe otra matriz cuadrada, llamada inversa y que se representa por A^-1 , que multiplicada por la matriz A nos da la matriz identidad.

Vamos a deducir cómo es la matriz inversa. Supongamos una matriz cuadrada A de orden n, aunque para facilitar los cálculos trabajaremos con una matriz de orden 3.

Hallamos la traspuesta de la matriz adjunta:

Multiplicamos la matriz A por la traspuesta de su adjunta y tenemos: 

Es decir, al multiplicar nuestra matriz A por la traspuesta de su adjunta nos ha aparecido la matriz unidad: 

De donde se deduce que, si el determinante de A no es nulo:

Como de toda matriz cuadrada se puede hallar su adjunta y luego la traspuesta de ésta, lo único que puede hacer que no exista la inversa es que no exista el factor (1/|A|), que no existe cuando |A|= 0.

Por otro lado, como: 

 

y por la novena propiedad:

Voy a dejaros dos ejemplos para el cálculo de la matriz inversa para que podáis ver cómo se calcula la inversa por este método de una matriz de orden 2 y otra de orden 3: 

Ejemplo matriz inversa. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Ejemplo matriz inversa. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Espero que os haya sido de ayuda, nos leemos en el siguiente post!

Amalia.



Apuntes marea verde. BC2 02. Determinantes. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 11/12/2018.