Matriz adjunta y matriz inversa

Buenos días! Os estaba esperando, una vez más para comenzar el siguiente post, esta vez sobre la Matriz Adjunta y la inversa!

Comencemos por el principio. 

Para poder calcular la matriz inversa, primeramente debemos saber cómo se calcula la matriz adjunta, y esto lo veremos con un ejemplo.

Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz formada por los adjuntos de la matriz A y se representa por Adj(A).

Dada una matriz cuadrada A, de orden n, se llama αij al determinante de orden (n-1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j:

                                       

Esto será utilizado en el cálculo de la matriz adjunta el cual veremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo matriz adjunta. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Matriz inversa

Una vez sabemos calcular determinantes, vamos a ver la tercera forma de poder calcular matrices inversas. En un post anterior sobre matrices inversas ya se ha explicado cómo calcular la inversa de matrices de orden 2 y 3 mediante sistemas de ecuaciones o el método de Gauss - Jordan.

Recordemos que una matriz cuadrada A se llama regular si existe otra matriz cuadrada, llamada inversa y que se representa por A^-1 , que multiplicada por la matriz A nos da la matriz identidad.

Vamos a deducir cómo es la matriz inversa. Supongamos una matriz cuadrada A de orden n, aunque para facilitar los cálculos trabajaremos con una matriz de orden 3.

Hallamos la traspuesta de la matriz adjunta:

Multiplicamos la matriz A por la traspuesta de su adjunta y tenemos: 

Es decir, al multiplicar nuestra matriz A por la traspuesta de su adjunta nos ha aparecido la matriz unidad: 

De donde se deduce que, si el determinante de A no es nulo:

Como de toda matriz cuadrada se puede hallar su adjunta y luego la traspuesta de ésta, lo único que puede hacer que no exista la inversa es que no exista el factor (1/|A|), que no existe cuando |A|= 0.

Por otro lado, como: 

 

y por la novena propiedad:

Voy a dejaros dos ejemplos para el cálculo de la matriz inversa para que podáis ver cómo se calcula la inversa por este método de una matriz de orden 2 y otra de orden 3: 

Ejemplo matriz inversa. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Ejemplo matriz inversa. "Apuntes Marea Verde"- CC BY-NC-SA

Espero que os haya sido de ayuda, nos leemos en el siguiente post!

Amalia.



Apuntes marea verde. BC2 02. Determinantes. Autores: Leticia Gonzalez Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. www.apuntesmareaverde.org.es CC: by-nc-sa. 11/12/2018.